Question

設{a_n}是正項等比數(shù)列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互異的正整數(shù)m，n，使得S_m=S_n，則S_m+n=

 

．

Answer 1

分析：根據(jù){a_n}是正項等比數(shù)列，推斷出lga_n+1-lga_n結果為常數(shù)，判斷出數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列，進而用等差數(shù)列求和公式分別表示出S_m和S_n，根據(jù)S_m-S_n=0求得lga₁+

m+n-1

2

d）=0代入S_m+n求得答案．

解答：解：∵{a_n}是正項等比數(shù)列，設公比為q，
∴l(xiāng)ga_n+1-lga_n=lgq
∴數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列，
設公差為d
則S_m=mlga₁+

m(m-1)d

2

，S_n=nlga₁+

n(n-1)d

2

∵S_m=S_n，
∴S_m-S_n=mlga₁+

m(m-1)d

2

-nlga₁-

n(n-1)d

2

=（m-n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
∵m≠n
∴l(xiāng)ga₁+

m+n-1

2

d）=0
∴S_m+n=（m+n）lga₁+

(m+n)(m+n-1)d

2

=（m+n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
故答案為0．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質．解題的關鍵是判斷出數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列．