【題目】已知函數f(x)＝|3x－1|－2|x|＋2.
(Ⅰ)解不等式：f(x)<10；
(Ⅱ)若對任意的實數x，f(x)－|x|≤a恒成立，求實數a的取值范圍．
【答案】(Ⅰ)(－7,9)(Ⅱ)[3，＋∞).
【解析】試題分析：(Ⅰ) 對
分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集，即可得不等式
的解集；(Ⅱ)對任意的實數
恒成立，等價于
，利用
，可得
，從而可求實數
的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ)當x<0時，不等式可化為－(3x－1)－(－2x)＋2<10，解得x>－7.所以－7<x<0；
當0≤x≤
時，不等式可化為－(3x－1)－2x＋2<10，解得x>－
.所以0≤x≤
；
當x>
時，不等式可化為(3x－1)－2x＋2<10，解得x<9.所以
<x<9.
綜上，不等式的解集為(－7,9).
(Ⅱ)f(x)－|x|≤a即為|3x－1|－2|x|＋2－|x|≤a，即|3x－1|－3|x|≤a－2.
即|3x－1|－|3x|≤a－2.
因為|3x－1|－|3x|≤|3x－1－3x|＝1
所以要對任意的實數x，使得f(x)－2|x|≤a，需使1≤a－2，解得a≥3.
即實數a的取值范圍是[3，＋∞).
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一張紙的長、寬分別為2
a，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點，現將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體，關于該多面體的下列命題，正確的是________(寫出所有正確命題的序號).
①該多面體是三棱錐；②平面BAD⊥平面BCD；
③平面BAC⊥平面ACD；④該多面體外接球的表面積為5πa2.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）證明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在公比為q的等比數列{an}中，已知a1＝16，且a1，a2＋2，a3成等差數列．
(Ⅰ)求q，an；
(Ⅱ)若q＜1，求滿足a1－a2＋a3－…＋(－1)2n－1a2n>10的最小的正整數n的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中前三段的頻率成等比數列．
(Ⅰ)求圖中實數a，b的值；
(Ⅱ)若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于80分的人數；
(Ⅲ)若從樣本中數學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】家政服務公司根據用戶滿意程度將本公司家政服務員分為兩類，其中A類服務員12名，B類服務員x名．
(Ⅰ)若采用分層抽樣的方法隨機抽取20名家政服務員參加技術培訓，抽取到B類服務員的人數是16, 求x的值；
(Ⅱ)某客戶來公司聘請2名家政服務員，但是由于公司人員安排已經接近飽和，只有3名A類家政服務員和2名B類家政服務員可供選擇，求該客戶最終聘請的家政服務員中既有A類又有B類的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中的假命題是( )
A. α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ
B. φ∈R，函數f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數
C. x0∈R，使
(a，b，c∈R且為常數)
D. a>0，函數f(x)＝ln2x＋lnx－a有零點
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．
（1）求證：直線AM∥平面PNC；
（2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值．
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