Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當,函數在區間上為增函數,求整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當時, 在上為增函數;

當時, 在為減函數,在為增函數；（2）1

【解析】

（1）求導，根據取值不同進行分類討論，求出函數的單調性；

（2）求導，問題轉化為在恒成立,常變量分離，

在恒成立,令，求導，求出的最小值，最后求出整數的最大值.

(1)定義域為,,

當時,,所以在上為增函數;

當時,由得,當時, ,

當時,

所以在為減函數,在為增函數，

綜上所述：當時, 在上為增函數;

當時, 在為減函數,在為增函數.

(2)當時,, 若在區間上為增函數,

則在恒成立,

即在恒成立,令.

，令,

可知，又當時，,

所以函數在只有一個零點, 設為,即,且;

由上可知當時,即;當時，,即,

所以,有最小值,

把代入上式可得,又因為,所以,

又恒成立,所以,又因為為整數,

所以,所以整數的最大值為1 .