Question

已知函數f（x）=x²－4，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1,0）（n∈N ⁺），其中x_n為正實數．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，記a_n=lg，證明數列｛a_n｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；
（3）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數列｛b_n｝的前n項和，證明T_n<3．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析．

解析試題分析：（1）由題設條件知曲線y=f（x）在點處的切線方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能夠導出．（3）由題設知，所以，由此可知．
解：（1）由題可得．
所以曲線在點處的切線方程是：．
即．
令，得．
即．顯然，
∴．
（2）由，知，’同理．----6’
故．-----7’
從而，即．所以，數列成等比數列．---8’
故．即．----9’
從而,所以．----10’
（3）由（Ⅱ）知，∴
∴   ---11’
當時，顯然．-------12’
當時，-----13’
∴．綜上，．
考點：1．數列遞推式；2．等比關系的確定；3．數列的求和；4．不等式的證明．