Question

（本小題滿分12分）

   已知橢圓的離心率為e=，且過點（）

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線l：y=kx+m(k≠0，m＞0)與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程.

 

Answer 1

【答案】

.解：（Ⅰ）∵e=   ∴c= a      

∴b²=a²-c²= a²

故所求橢圓為：………………………………（1分）

又橢圓過點（）   ∴    ∴a² =4.   b² =1   ∴（3分）

(Ⅱ)設P（x₁,y₁）, Q（x₂,y₂）,PQ的中點為（x₀,y₀）

將直線y=kx+m與

聯立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0

   ①

又x₀=……………………（5分）

又點［-1，0）不在橢圓OE上，

依題意有

整理得3km=4k²+1   ②……………………………………………………（7分）

由①②可得k²＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞……………………（8分）

設O到直線l的距離為d，則

S_△OPQ =

=……………………………（10分）

當的面積取最大值1，此時k= 

∴直線方程為y= ……………………………………（12分）

 

【解析】略