Question

【題目】設函數，其圖象與軸交于，兩點，且.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）先求出，易得當不符合題意，當時，當時，取得極小值，所以，得到的范圍，再由，，結合零點存在定理，得到答案.（2）由題意，，兩式相減，得到，記，將轉化為，再由導數求出其單調性，從而得到，再由是單調增函數，得到.

解：（1）因為，

所以.

若，則，

則函數是單調增函數，這與題設矛盾.

所以，令，則.

當時，，是單調減函數；

時，，是單調增函數；

于是當時，取得極小值.

因為函數的圖象與軸交于兩點，，

所以，即.

此時，存在，；

存在，，

又在上連續，故.

（2）因為

兩式相減得.

記，

則，

設，則，

所以是單調減函數，

則有，而，所以.

又是單調增函數，且；

所以.