Question

【題目】設函數，其中．

（1）若函數為偶函數，求實數的值；

（2）求函數在區間上的最大值；

（3）若方程有且僅有一個解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）時，最大值為0， 時，最大值為；（3）

【解析】試題分析：（1）根據偶函數的性質得到，從而得到參數值；（2）根據函數表達式知道在和時均為開口向上的二次函數的一部分，直接比較， ， 中的較大值即可；（3）可化為有且僅有一個解，分類討論，去掉絕對值，變量分離，轉化為求值域問題即可。

（1）由是上偶函數，可得，則，則，

此時，是上的偶函數，滿足題意．

（2）

在和時均為開口向上的二次函數的一部分，

因此最大值為， ， 中的較大值，

， ， ，

由，則最大值為， 中的較大值，

則時，最大值為0， 時，最大值為．　

（3）可化為，

時等號成立，則為一解，由方程僅有一解可得時方程無解，

時， 無解，即無解， 時， 取值范圍為，則無解時；

時， 無解，即無解， 時， 取值范圍，則無解時．綜上， ．