Question

已知函數，且在和處取得極值.
（1）求函數的解析式.
（2）設函數，是否存在實數，使得曲線與軸有兩個交點，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）
（2）存在，且或時，使得曲線與軸有兩個交

試題分析：解：（1），
因為在和處取得極值，
所以和是＝0的兩個根，
則解得經檢驗符合已知條件
故 
（2）由題意知，
令得，或，
隨著變化情況如下表所示：

		1	（1，3）	3
	－	0	+	0	－
	遞減	極小值	遞增	極大值	遞減

由上表可知：極大值＝，
又取足夠大的正數時，；
取足夠小的負數時，，
因此，為使曲線與軸有兩個交點，結合的單調性，
得：，
∴或，
即存在，且或時，使得曲線與軸有兩個交點.
點評：根據導數的符號判定函數的單調性是解題的關鍵，同時能利用其極值于x軸的關系的求解交點問題，屬于中檔題。