Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，請(qǐng)求出一個(gè)長(zhǎng)度為

1

4

的區(qū)間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由？（注：區(qū)間（a，b）的長(zhǎng)度=b-a）．

Answer 1

（1）要使函數(shù)有意義，則

1-x＞0 1+x＞0

，
∴-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）
（2）∵f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．
（3）由題意知方程f（x）=x+1?log₂（1-x）-log₂（1+x）=x+1，可化為（x+1）2^x+1+x-1=0
設(shè)g（x）=（x+1）2^x+1+x-1，x∈（-1，1）
則g(-

1

2

)=

1

2

×2

1

2

-

1

2

-1=

2 -3

2

＜0，g（0）=2-1=1＞0，
所以g(-

1

2

)g(0)＜0，故方程在(-

1

2

，0)上必有根；
又因?yàn)?span >g(-

1

4

)=

3

4

×2

3

4

-

1

4

-1=

34 8 -5

4

=

4 648 -4 625

4

＞0，
所以g(-

1

2

)g(-

1

4

)＜0，故方程在(-

1

2

，-

1

4

)上必有一根．
所以滿足題意的一個(gè)區(qū)間為(-

1

2

，-

1

4

)．