Question

（2011•開封一模）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-7|-|x-3|，
（Ⅰ）作出函數f（x）的圖象；
（Ⅱ）當x＜5時，不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由于函數f（x）=|x-7|-|x-3|=

4 ， x≤3 10-2x ，3＜x≤7 -4 ，x＞7

，由此根據函數的解析式作出函數的圖象．
（II）當x＜5時，由題意可得|x-a|＜6-x恒成立．平方可得（12-2a）x＜36-a²．結合題意可得12-2a＞0，且x＜

6+a

2

．故有

6+a

2

≥5，且a＜6，由此求得a的范圍．

解答：解：（I）由于函數f（x）=|x-7|-|x-3|=

4 ， x≤3 10-2x ，3＜x≤7 -4 ，x＞7

，如圖所示：
（II）當x＜5時，由于不等式|x-8|-|x-a|＞2恒成立，
故|x-a|＜6-x恒成立．
平方可得，（12-2a）x＜36-a²．
結合題意可得12-2a＞0，且x＜

6+a

2

．
故有

6+a

2

≥5，且a＜6，解得6＞a≥4．
故所求的a的范圍為[4，6）．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，函數的恒成立問題，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．