Question

（2011•開封一模）選修4-1：幾何證明選講
如圖：AB是⊙O的直徑，C、F為⊙O上的點，CA是∠BAF的角平分線，過點C作CD⊥AF，交AF的延長線于D點，CM⊥AB，垂足為M，求證：
（I）DC是⊙O的切線；
（II）MB=DF．

Answer 1

分析：（I）連接OC，則∠OAC=∠OCA，利用角平分線的性質可得∠OCA=∠OAC=∠CAF，于是OC∥AD．再利用已知AD⊥CD，可得OC⊥CD．利用切線的判定定理即可．
（II）連接BC、FC，可得A、B、C、F四點共圓，可得∠CFD=∠CBM，又CD=CM，∠CDF=∠CMB．于是RT△CDF≌RT△CMB，即可得出．

解答：證明：（I）連接OC，則∠OAC=∠OCA，
又∵CA是∠BAF的角平分線，∴∠OCA=∠OAC=∠CAF，
∴OC∥AD．
又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD．
∴DC是⊙O的切線；
（II）連接BC、FC，∵A、B、C、F四點共圓，
∴∠CFD=∠CBM，又CD=CM，∠CDF=∠CMB．
∴RT△CDF≌RT△CMB，∴MB=DF．

點評：熟練掌握角平分線的性質、平行線的判定方法、切線的判定定理、四點共圓的性質、三角形的全等判定方法等是解題的關鍵．