Question

【題目】已知為橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數，使得成等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由條件建立關于的方程組，可求得，得出橢圓的方程；

（2）①當直線的斜率不存在時，可求得，求得，②當直線的斜率存在且不為0時，設 聯立直線與橢圓的方程，求出線段，再由得出線段，根據等差中項可求得，得出結論.

（1）由條件得，所以橢圓的方程為：；

（2），

①當直線的斜率不存在時，，此時,

②當直線的斜率存在且不為0時，設,聯立 消元得，

設，

，

直線的斜率為，同理可得

，

所以，

綜合①②，存在常數，使得成等差數列.