Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0），離心率為 ，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點 M，N．
（1）求橢圓C的方程，并求其焦點坐標；
（2）當△AMN的面積為 時，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得：a=2， ，a2=b2+c2，聯立解得a=2，c=b= ．

∴橢圓C的標準方程為： =1，其焦點坐標為：

（2）解：設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立 ，

化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，

△＞0，∴x1+x2= ，x1x2= ．

∴|MN|=

= = ．

點A到直線MN的距離d= ．

∴△AMN的面積= = |MN|= ，

化為：20k4﹣7k2﹣13=0，

解得k2=1，解得k=±1

【解析】（1）由題意可得：a=2， ，a2=b2+c2 ， 聯立解得即可得出．（2）設M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），直線方程與橢圓方程聯立化為：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，利用根與系數的關系可得|MN|= ，點A到直線MN的距離d．利用△AMN的面積= = |MN|，解出即可得出．