Question

【題目】已知動圓P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y軸所截的弦長為2，被x軸分成兩段弧，且弧長之比等于 （其中P（a，b）為圓心，O為坐標原點）．
（1）求a，b所滿足的關系式；
（2）點P在直線x﹣2y=0上的投影為A，求事件“在圓P內隨機地投入一點，使這一點恰好在△POA內”的概率的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，設圓P被y軸所截的弦為EF，與x軸相較于C，D兩點，

過點P作PM⊥EF，垂足為M，連接PE，由垂徑定理可得|EM|=1，在Rt△EMP中，r2=1+a2．①

∵被x軸分成兩段弧，且弧長之比等于 ，設 為劣弧，∴∠CPD=90°，

過點P作PN⊥x軸，垂足無N，連接PD，PC，則Rt△PND為等腰直角三角形，∴r2=2b2．②

聯立①②消去r可得：2b2=1+a2，即為a，b所滿足的關系式．

（2）解：點P到直線x﹣2y=0的距離|PA|= =d，

∵PA⊥OA，∴|OA|= = ，

∴S△OAP= = ，

∴事件“在圓P內隨機地投入一點，使這一點恰好在△POA內”的概率P= =

= ，當且僅當d2=r2﹣d2，即 ，解得

∴P的最大值為

【解析】（1）利用垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質即可得出；（2）利用點到直線的距離公式、兩點間的距離公式先計算出三角形的面積，利用幾何概率的計算公式得出概率，進而利用導數求得其最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解幾何概型的相關知識，掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．