Question

【題目】2012年“雙節”期間，高速公路車輛較多．某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．
（1）某調查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？
（2）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值．
（3）若從車速在[60，70）的車輛中任抽取2輛，求車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意知這個抽樣是按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣．
故調查公司在采樣中，用到的是系統抽樣，
（2）眾數的估計值為最高的矩形的中點，即眾數的估計值等于77.5
設圖中虛線所對應的車速為x，則中位數的估計值為：
0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，
解得x=77.5，即中位數的估計值為77.5
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數為：m1=0.01×5×40=2（輛），
車速在[65，70）的車輛數為：m2=0.02×5×40=4（輛）
設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，
則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15種 （10分）
其中車速在[65，70）的車輛至少有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14種
所以，車速在[65，70）的車輛至少有一輛的概率為P=．

【解析】（1）這個抽樣是按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統抽樣；
（2）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數據的平均數．
（3）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數和車速在[65，70）的車輛數．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數，從而求出相應的概率即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用用樣本的頻率分布估計總體分布的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況．