Question

【題目】已知函數（且），定義域均為．

（1）若當時，的最小值與的最小值的和為，求實數的值；

（2）設函數，定義域為．

①若，求實數的值；

②設函數，定義域為．若對于任意的，總能找到一個實數，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）分別求出兩個函數的最小值，利用其和為﹣2建立方程，即可求出實數a的值；

（2）①求出函數h（x）的解析式，按參數a的取值范圍分類判斷出函數的單調性，求出函數的最值，令其等于﹣2，解方程得出參數a的值；

②根據題意，判斷出在區間上，函數h（x）的值域是值域的子集，根據子集的定義轉化出參數a的不等式，即可得出參數a的取值范圍．

（1）當時，為增函數，為減函數，

由的最小值與的最小值的和為，

∴，即，即32，解得．

（2）．

①，

當a＞1時，不存在；

當0＜a＜1時，，

綜上，實數a的值為．

②由題知，在區間上，函數h（x）的值域是值域的子集，

易得的值域為[﹣2，+∞）．

當a＞1時，h（x）的值域為，

應有a＞1時均符合，

當0＜a＜1時，h（x）的值域為，

應有，

綜上，實數a的取值范圍為．