Question

（2012•深圳二模）在△ABC中，角A為銳角，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量

m

=(cosA，sinA)，

n

=(cosA，-sinA)，且

m

與

n

的夾角為

π

3

．
（1）求

m

•

n

的值及角A的大小；
（2）若a=

7

，c=

3

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積的坐標運算以及向量的數量積，求出A的大小即可．
（2）通過余弦定理求出b，然后通過面積公式求出結果即可．

解答：解：（1）因為

m

=(cosA，sinA)，|

m

|=1，

n

=(cosA，-sinA)，∴|

n

|=1，
∴

m

•

n

=|

m

||

n

|cos

π

3

=

1

2

（3分）
又

m

•

n

=cos2A-sin2A=cos2A，
所以cos2A=

1

2

．（5分）
因為角A為銳角，
∴2A=

π

3

，A=

π

6

 （7分）
（2）因為 a=

7

，c=

3

，A=

π

6

，及a²=b²+c²-2bccosA，
∴7=b²+3-3b，即b=-1（舍去）或b=4 （10分）
故S=

1

2

bcsinA=

3

（12分）

點評：本小題主要考查向量的數量積和夾角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面積公式，考查了簡單的數學運算能力．