Question

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD為正方形,PD=DC=2,E,F,G分別是AB,PB,CD的中點.

(1)求證:EF⊥DC;

(2)求證:GF∥平面PAD;

(3)求點G到平面PAB的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)根據直線的垂直關系，得到線面垂直；再根據中位線得到線線平行，進而得到線線垂直。

(2)建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，利用直線與法向量的垂直關系，判斷直線與平面的平行關系。

(3)利用向量的坐標，判斷出直線GF⊥平面PAB，進而求得點到平面的距離。

(1)證明∵PD⊥DC,DC⊥AD,AD∩PD=D,

∴DC⊥平面PAD.

∵AP平面ABCD,∴DC⊥AP.

∵E,F分別是PB和AB的中點,EF是三角形PAB的中位線,EF∥AP,∴EF⊥CD.

(2)證明如圖,以D為原點,DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(0,1,0).

∵=(0,2,0)為平面PAD的一個法向量,=(1,0,1),

∴=1×0+0×2+1×0=0.

∴.

∵GF平面PAD,∴GF∥平面PAD.

(3)解∵=(1,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-2),

∴=0,=0,即GF⊥AB,GF⊥PA.

∵AB∩PA=A,∴GF⊥平面PAB,垂足為F.

∵||=,

∴點G到平面PAB的距離為.