Question

【題目】設函數f（x）= （其中常數a＞0，且a≠1）．
（1）當a=10時，解關于x的方程f（x）=m（其中常數m＞2 ）；
（2）若函數f（x）在（﹣∞，2]上的最小值是一個與a無關的常數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=

①當x＜0時，f（x）= ＞3．因為m＞2 ．

則當2 ＜m≤3時，方程f（x）=m無解；

當m＞3，由10x= ，得x=lg ．

②當x≥0時，10x≥1．由f（x）=m得10x+ =m，

∴（10x）2﹣m10x+2=0．

因為m＞2 ，判別式△=m2﹣8＞0，解得10x= ．

因為m＞2 ，所以 ＞ ＞1．

所以由10x= ，解得x=lg ．

令 =1，得m=3．

所以當m＞3時， = ＜ =1，

當2 ＜m≤3時， = ＞ =1，解得x=lg ．

綜上，當m＞3時，方程f（x）=m有兩解x=lg 和x=lg ；

當2 ＜m≤3時，方程f（x）=m有兩解x=lg ．

（2）解：①若0＜a＜1，

當x＜0時，0＜f（x）= ＜3；

當0≤x≤2時，f（x）=ax+ ．

令t=ax，則t∈[a2，1]，g（t）=t+ 在[a2，1]上單調遞減，

所以當t=1，即x=0時f（x）取得最小值為3．

當t=a2時，f（x）取得最大值為 ．

此時f（x）在（﹣∞，2]上的值域是（0， ]，沒有最小值．

②若a＞1，

當x＜0時，f（x）= ＞3；

當0≤x≤2時f（x）=ax+ ．

令t=ax，g（t）=t+ ，則t∈[1，a2]．

①若a2≤ ，g（t）=t+ 在[1，a2]上單調遞減，

所以當t=a2即x=2時f（x）取最小值a2+ ，最小值與a有關；

②a2＞ ，g（t）=t+ 在[1， ]上單調遞減，在[ ，a2]上單調遞增，

所以當t= 即x=loga 時f（x）取最小值2 ，最小值與a無關．

綜上所述，當a≥ 時，f（x）在（﹣∞，2]上的最小值與a無關．

【解析】（1）當a=10時，脫掉絕對值，寫出f（x）的分段函數，根據分段函數在相應的區間所對應的解析式進行求解，（2）根據題意有，對a進行分類討論，①a＞1時，②0＜a＜1時，兩種情況分析，每種情況下根據絕對值，再按照x≥0時，和-2≤x＜0兩種情況討論，最后可得結論.