Question

設非零復數x、y滿足x²+xy+y²=0，則代數式(

x

x+y

)2008+(

y

x+y

)2008的值是

-1

．

Answer 1

分析：將已知方程兩邊同除以y²變形解得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，利用ω³=1，1+ω=-ω²，及2005=3×668+1 化簡原式可得答案．

解答：解：將已知方程變形為　 (

x

y

)2+

x

y

+1=0，解這個一元二次方程，
得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
顯然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2008=3×669+1，
則原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁸+（

y

x+y

）²⁰⁰⁸ =

ω2008

(1+ω )2008

+

1

(1+ω )2008

=

ω

(-ω2)2008

+

1

(-ω2)2008

=-1
故答案為：-1

點評：本題考查復數乘法的棣莫弗公式的應用，實系數一元二次方程在判別式小于0時的方程的解法，本題解題的關鍵是理解所應用的定理，本題是一個中檔題目．