Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+bx+1滿足f（1+x）=f（1﹣x）， ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷g（x）在[1，2]上的單調(diào)性并用定義證明你的結(jié)論；
（3）求g（x）在[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=x2+bx+1滿足f（1+x）=f（1﹣x），

可知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=1，所以 ，b=﹣2，

函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x2﹣2x+1

（2）解： =x+ ﹣2，g（x）在[1，2]上的單調(diào)性是增函數(shù)，

證明：設(shè)1≤x1＜x2≤2，x1﹣x2＜0， ＞0，

g（x1）﹣g（x2）=x1﹣x2+ =（x1﹣x2）（ ）＜0，

g（x1）＜g（x2），

所以函數(shù)g（x）在[1，2]上是增函數(shù)

（3）解：由（2）可知，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)的最小值為：g（1）=0，

函數(shù)的最大值為：g（2）=

【解析】（1）利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求出b，然后求解函數(shù)的解析式．（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性的定義證明即可．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，直接求解函數(shù)的最值即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．