Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）設，求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）若時，函數的單調遞增區間為；若時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導函數，然后分類討論，當時，的單調增區間為，當時，的單調增區間為，單調遞減區間為，；

（2）求出的導函數 ，當時，在上單調遞增，故而在存在唯一的零點，即，則當時，單調遞減，當時，單調遞增，從而可證得結論．

（1）解：由函數，．

得，．

若時，，函數的單調遞增區間為；

若，時，，函數單調遞增，

若時，，函數單調遞減，

綜上，若時，函數的單調遞增區間為，

若時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，；

（2）證明：，．

則 ．

當時，在上單調遞增，

又（1），，

（2），

故而在存在唯一的零點，即．

則當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故而．

又，，

．

函數的對稱軸為，

因為，所以，

因為函數開口向下，，

所以，

所以.