Question

【題目】已知橢圓的左．右焦點(diǎn)分別為,短軸兩個(gè)端點(diǎn)為,且四邊形的邊長(zhǎng)為 的正方形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若,分別是橢圓長(zhǎng)軸的左,右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,連結(jié),交橢圓于點(diǎn)．證明: 的定值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,試問軸上是否存在異于點(diǎn),的定點(diǎn),使得以為直徑的圓恒過直線,的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ) 存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點(diǎn).

【解析】

試題（I）由于四邊形為正方形，所以，由此求得橢圓方程為.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入可求得值為.（III）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的直徑所對(duì)圓周角為直角的幾何性質(zhì)得到，結(jié)合（II）將的坐標(biāo)代入上式，可求得.

試題解析：(Ⅰ)由題意得,

,

所以所求的橢圓方程為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,

由題意可設(shè),．

因?yàn)?/span>

所以

由整理得:

因?yàn)?/span>

所以，

所以

(Ⅲ)設(shè),則．

若以為直徑的圓恒過,的交點(diǎn),則,

所以恒成立

由(Ⅱ)可知,

．

所以．

即恒成立．

所以．

所以存在,使得以為直徑的圓恒過直線,的交點(diǎn)．