Question

已知定義在正實數集上的函數f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．設兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出兩曲線的公共點坐標，求出兩曲線方程的導函數，由兩曲線在該點處的切線相同，所以把公共點的橫坐標分別代入兩曲線方程得到縱坐標相同且分別代入到導函數中的函數值也相等，聯立消去公共點的橫坐標得到a與b的關系式，令b=h（t），自變量t=a，得到一個關于t的函數，求出h（t）的導函數，令導函數大于0求出t的范圍即為函數的增區間，令導函數小于0求出t的范圍即為函數的減區間，根據函數的增減性得到函數的極大值點，把求得的極大值點代入h（t）中即可求出b的最大值；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入到F（x）=f（x）-g（x）中得到F（x）的解析式，求出F′（x），根據對數函數的定義域可知x大于0，由題意可知a大于0，所以分x大于a和x小于a大于0兩種情況討論導函數的正負即可得到函數的單調區間，根據函數的增減性得到a為函數的極小值點，把x等于a代入到F（x）中即可求出極小值，且該函數無極大值點．
解答：解：（1）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x，y）處的切線相同．
∵f′（x）=x+2a，g′（x）=，由題意f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即，
由x+2a=得：x²+2ax-3a²=0，即（x-a）（x+3a）=0，解得x=a或x=-3a（舍去）．
即有b=a²+2a²-3a²lna=a²-3a²lna，
令h（t）=t²-3t²lnt（t＞0），則h′（t）=5t-6tlnt-3t=2t（1-3lnt），于是
當t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜時，h′（t）＞0；
當t（1-3lnt）＜0，即t＞時，h′（t）＜0，
故h（t）在（0，）上為增函數，在（，+∞）上為減函數，
則h（t）在（0，+∞）的最大值為h（）=-3ln=；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=，
則F′（x）=x+2α-=（x＞0）．
故F（x）在（0，α）為減函數，在（α，+∞）為增函數，
于是函數F（X）在x=a時有極小值F（α），F（X）=f（x）-g（x）=0無極大值．
點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導函數的正負判斷函數的單調區間并根據函數的增減性得到函數的極值，是一道中檔題．