Question

（2009•河西區二模）已知定義在正實數集上的函數f（x）=

3x2

2

+ax，g（x）=4a²lnx+b，其中a＞0，設兩曲線x=f（x）與f=g（x）有公共點，且在公共點處的切線相同．
（I）若a=1，求兩曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點處的切線方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

Answer 1

分析：（I）設y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，先利用導數求出在切點處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用兩直線重合列出等式即可求得b值；
（Ⅱ）利用（I）類似的方法，利用a的表達式來表示b，然后利用導數來研究b的最大值，研究此函數的最值問題，先求出函數的極值，結合函數的單調性，最后確定出最大值與最小值即得．

解答：解：（I）當a=1時，f(x)=

3x2

2

+x，g(x)=4lnx+b．(x＞0)，f′(x)=3x+1，g′(x)=

4

x

，
曲線y=f（x）與y=g（x）在公共點（x₀，y₀）處的切線相同，則有f'（x₀）=g'（x₀），
即3x0+1=

4

x0

，解得x₀=1或x0=-

4

3

（舍），
又

3 x 2 0

2

+x0=4lnx0+b，故得b=

5

2

，公共點為(1，

5

2

)，
∴切線方程為y-

5

2

=4(x-1)，即8x-2y-3=0；
（Ⅱ）f′(x)=3x+a，g′(x)=

4a2

x

，設在（x₀，y₀）處切線相同，
故有f'（x₀）=g'（x₀），f（x₀）=g（x₀），即

3x0+a= 4a2 x0      ① 3 x 2 0 2 +ax0=4a2lnx0+b   ②

，
由①3

x

2 0

+ax0-4a2=0，(x0-a)(3x0+4a)=0，得x0=a，x0=-

4a

3

（舍），
于是b=

3a2

2

+a2-4a2lna=

5a2

2

-4a2lna，
令h(t)=

5t2

2

-4t2lnt(t＞0)，則h'（t）=5t-8tlnt-4t=t（1-8lnt），
于是當t（1-8lnt）＞0，即0＜1＜e

1

8

時，h'（t）＞0，故h（t）在(0，e

1

8

)上遞增．
當t（1-8lnt）＜0，即t＞e

1

8

時，h'（t）＜0，故h（t）在(e

1

8

，+∞)上遞減，
∴h（t）在t=e

1

8

處取最大值．
∴當a=e

1

8

時，b取得最大值

5e 1 4

2

-4e

1

4

lne

1

8

=2e

1

4

．

點評：本小題主要考查利用導數求閉區間上函數的最值、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．