Question

已知四邊形ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2
(1)求PC的長(zhǎng)；
(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小；
(3)求證:二面角B—PC—D為直二面角. 

Answer 1

(1) (2) PC與BD所成角的余弦值為 (3)證明略

 因?yàn)?i>PA⊥平面AC，AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90°,由勾股定理得PB=. 
∴PC=.
(2)解: 如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD交AD的延長(zhǎng)線于E，連結(jié)PE，則PC與BD所成的角為∠PCE或它的補(bǔ)角.

∵CE=BD=，且PE=
∴由余弦定理得
cosPCE=
∴PC與BD所成角的余弦值為.
(3）證明:設(shè)PB、PC中點(diǎn)分別為G、F，連結(jié)FG、AG、DF，

則GF∥BC∥AD，且GF=BC=1=AD，
從而四邊形ADFG為平行四邊形，
又AD⊥平面PAB，∴AD⊥AG，
即ADFG為矩形，DF⊥FG.
在△PCD中，PD=，CD=，F為BC中點(diǎn)，
∴DF⊥PC
從而DF⊥平面PBC，故平面PDC⊥平面PBC，
即二面角B—PC—D為直二面角.?
另法（向量法）: (略)