Question

【題目】曲線，直線關于直線對稱的直線為，直線，與曲線分別交于點、和、，記直線的斜率為．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當變化時，試問直線是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）設直線上任意一點關于直線對稱點為，利用與關于直線對稱可得關系，代入斜率乘積即可得到的值；

（Ⅱ）設出，的坐標，分別聯立兩直線方程與橢圓方程，求出，的坐標，進一步求出所在直線的斜率，寫出直線方程的點斜式，整理后由直線系方程可得當變化時，可得直線過定點．

（Ⅰ）證明：設直線上任意一點關于直線對稱點為，

直線與直線的交點為，

∴，，，，

由得①，

由，得②，

由①②得，

；

（Ⅱ）設點，，

由，得，

可得或，

即，

由，可將換為，

可得，

，

即直線：，

可得 ，

即為，

則當變化時，直線過定點．