Question

【題目】已知函數，且在區間上的最大值比最小值大．

（1）求的值；

（2）若函數在區間的最小值是，求實數的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論，分析出函數在區間上的單調性，可得出該函數的最大值和最小值，再結合題中條件得出關于的方程，解出即可；

（2）設，利用單調性的定義證明出函數在上為增函數，可得出，可得出，并構造函數，對參數分類討論，分析函數在區間上的單調性，得出該函數的單調性，結合最小值為可求出實數的值.

（1）當時，函數在區間上單調遞增，

則該函數的最大值為，最小值為，

由題意得，解得，或（舍去）；

當時，函數在區間上單調遞減，

則該函數的最大值為，最小值為，

由題意得，即，該方程無實數解．

綜上；

（2）函數，

令，，任取，

因，

，所以，有，，所以．

則函數在上單調遞增，故．

令，因此，，所以問題轉化為：

函數在上有最小值，求實數的值．

因，對稱軸方程為，

當時，即當時，函數在上單調遞增，

故，由，解得與矛盾；

當時，即當時，，

由，解得或（舍去）.

綜上，．