Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，過橢圓C上一點P（2，1）作x軸的垂線，垂足為Q．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點Q的直線l交橢圓C于點A，B，且3+=，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意得，，解出求出 、的值即可得出橢圓的方程；（Ⅱ）由題意得點，設直線方程為，將直線，代入橢圓方程得到，利用向量的坐標運算性質、一元二次方程的根與系數的關系列方程即可得出 的值，從而可求得直線方程．

試題解析：（Ⅰ）設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），

由題意得=， +=1，a2=b2+c2．

解得a2=6，b2=c2=3，則橢圓C： ==1．

（Ⅱ）由題意得點Q（2，0），

設直線方程為x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），

由3+=，得3y1+y2=0，

y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）

將直線x=ty+2（t≠0），代入橢圓方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，

∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，

∴直線l的方程為：y=±（x﹣2）．

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和平面向量的線性運算，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.