Question

（文科做）已知圓O：x²+y²=4，，點M（1，a）且a＞0．
（I ）若過點M有且只有一條直線/與圓O相切，求a的值及直線l的斜率，
（II ）若a=

2

，AC、BD是過點M的兩條弦．
①當弦AC最短、弦BD最長時，求四邊形ABCD的面積；
②若

OP

=

OA

+

OC

，求動點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）由題意，過M有且僅有一條直線l與圓O相切可知，點M（1，a）在圓上，把點M的坐標代入到圓的方程，結合a＞0可求a，進而可求切線方程y-

3

=k（x-1），由直線與圓相切可知，圓心（0，0）到直線的距離d=

| 3 -k|

1+k2

=1，可求
（II）當a=

2

時，M（1，

2

）在圓x²+y²=4內
①由于圓內弦最長的即是圓的直徑即BD為直徑，而AC是過M且與BD垂直的弦，此時DB=4，圓心（0，0）到直線AC的距離d=

3

，，從而可得，AC=2，S=

1

2

AC•BD
②由|

OA

|=|

OC

|=2，

OP

=

OA

+

OC

可知，以

OA

，

OB

為鄰邊做平行四邊形OAPC，則可得OAPC為菱形，由菱形的對角線的性質可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上
由垂直平分線的性質可知，MP=MO=

3

，P是以M（1，

2

）為圓心，以

3

為半徑的圓，從而可求

解答：解：（I）由題意，過M有且僅有一條直線l與圓O相切可知，點M（1，a）在圓上
∴1+a²=4
∵a＞0∴a=

3

則此時所做的切線方程為y-

3

=k（x-1）即kx-y+

3

-k=0
由直線與圓相切可知，圓心（0，0）到直線的距離d=

| 3 -k|

1+k2

=1
∴k=

3

3

（II）當a=

2

時，M（1，

2

）在圓x²+y²=4內
①由于圓內弦最長的即是圓的直徑即BD為直徑，而AC是過M且與BD垂直的弦
此時DB=4，圓心（0，0）到直線AC的距離d=

3

，
從而可得，AC=2
S=

1

2

AC•BD=

1

2

×2×4=4
②∵|

OA

|=|

OC

|=2，

OP

=

OA

+

OC

∴以

OA

，

OB

為鄰邊做平行四邊形OAPC，則可得OAPC為菱形，
由菱形的性質可知AC，OP互相垂直平分，且M在AC上
由垂直平分線的性質可知，MP=MO=

3

P是以M（1，

2

）為圓心，以

3

為半徑的圓，其方程為(x-1)2+(y-

2

)2=3

點評：本題主要考查了圓的切線性質的應用，利用點到直線的距離與半徑的關系求解圓的切線，圓的弦的性質及向量加法的平行四邊形法則的應用，屬于綜合試題