Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設cn= ，數列{cn}的前n項和為Tn ．
①求Tn；
②對于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=（2n﹣1）an+1+1，

∴4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，n≥2

∴4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an，

整理得（2n+1）an=（2n﹣1）an+1，

即 = ，

∴ =3， = ，…， =

以上各式相乘得 =2n﹣1，又a1=1，

所以an=2n﹣1，

（2）解：①∵cn= = = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

②由①可知Tn= ，

∴ ≥ ，

∵kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，

∴kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，

當k=0時，8＞0恒成立，

當k≠0時，則得 ，解得0＜k＜1，

綜上所述實數k的取值范圍為[0，1）

【解析】（1）充分利用已知4Sn=（2n﹣1）an+1+1，將式子中n換成n﹣1，然后相減得到an與an+1的關系，利用累乘法得到數列的通項，（2）①利用裂項求和，即可求出Tn ，
②根據函數的思想求出 ≥ ，問題轉化為kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，分類討論即可．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．