Question

設函數f（x）=x+a

1-x

(a∈R)．
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）若不等式f（x）≤2對x∈[-8，-3]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）a=1時，f（x）=x+

1-x

，（x≤1），
令t=

1-x

，則t≥0，
則x=1-t²，
∴y=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∵t≥0，
∴y≥

5

4

，
函數f（x）的值域是[

5

4

，+∞）．
（2）令t=

1-x

，x∈[-8，-3]，則x=1-t²，2≤t≤3，
則y=1-t²+at，
若不等式f（x）≤2對x∈[-8，-3]恒成立，
則等價為1-t²+at≤2對t∈[2，3]恒成立，
即a≤t+

1

t

對t∈[2，3]恒成立，
令g（t）=t+

1

t

，t∈[2，3]，
則函數g（t）在[2，3]上是一個增函數，
∴g（t）的最小值為g（2）=

5

2

，
∴a≤

5

2

，
即a的取值范圍為（-∞，

5

2

]．