Question

【題目】已知函數．

（I）求曲線在點處的切線方程．

（Ⅱ）若直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切點為（﹣2，﹣26）

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數3x2+1，求得在點切線的斜率和切點的坐標，即可求解切線的方程；

（Ⅱ）設切點為（m，n），求得切線的斜率為1+3m2，根據切線過原點，列出方程，求得的值，進而可求得切線的方程.

（Ⅰ）由題意，函數f（x）＝x3+x﹣16的導數為3x2+1，得，

即曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為4，且切點為（1，﹣14），

所以切線方程為y+14＝4（x﹣1），即為4x﹣y﹣18＝0；

（Ⅱ）設切點為（m，n），可得切線的斜率為1+3m2，

又切線過原點，可得1+3m2，解得m＝﹣2，

即切點為（﹣2，﹣26），所以切線方程為y+26＝13（x+2），即y＝13x．