Question

【題目】已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-,0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設點A(1,)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意知橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程是
∵橢圓經過點D（2，0），左焦點為F(-,0)，
∴a=2，c=，可得b==1
因此，橢圓的標準方程為．
（2）設點P的坐標是（x0 ， y0），線段PA的中點為M（x，y），
由根據中點坐標公式，可得，整理得，
∵點P（x0 ， y0）在橢圓上，
∴可得，化簡整理得，
由此可得線段PA中點M的軌跡方程是．
【解析】（1）設橢圓方程為 ， 根據題意可得a=2且c= ， 從而b==1，得到橢圓的標準方程；
（2）設點P（x0 ， y0），線段PA的中點為M（x，y），根據中點坐標公式將x0、y0表示成關于x、y的式子，將P（x0 ， y0）關于x、y的坐標形式代入已知橢圓的方程，化簡整理即可得到線段PA的中點M的軌跡方程．