Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AC=2 ，AA1= ，AB=2，點(diǎn)D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D （Ⅰ）求證：BD⊥A1C
（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣C的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， ∵AC=2 ，AA1= ，AB=2，點(diǎn)D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D，
∴B（2，0，0），C（0， ，0），A1（0，0， ），D（ ， ， ）．
則 ， ，
∴ ．
∴BD⊥A1C；
（Ⅱ）解：設(shè)平面BDA1的一個(gè)法向量為 ， ， ，
∴ ，取z=2，則 ；
設(shè)平面A1DC的一個(gè)法向量為 ， ， ，
∴ ，取y=1，得 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角B﹣A1D﹣C的大小為arccos ．

【解析】（Ⅰ）分別以AB、AC、AA1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得到所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求得 的坐標(biāo)，由兩向量的數(shù)量積為0說(shuō)明BD⊥A1C；（Ⅱ）分別求出平面BDA1與平面A1DC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣C的大小．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)即可以解答此題．