Question

【題目】已知，若在區間上任取三個數、、，均存在以、、為邊長的三角形，則實數的取值范圍為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】f(x)=x33x+m,求導f′(x)=3x23,由f′(x)=0得到x=1或者x=1，

又x在[0,2]內,∴函數f(x)在區間(0,1)單調遞減,在區間(1,2)單調遞增，

則f(x)min=f(1)=m2,f(x)max=f(2)=m+2,f(0)=m.

在[0,2]上任取三個數a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊的三角形，

三個不同的數a,b,c對應的f(a),f(b),f(c)可以有兩個相同。

由三角形兩邊之和大于第三邊，可知最小邊長的二倍必須大于最大邊長。

由題意知,f(1)=2+m>0…(1)，

f(1)+f(1)>f(0),得到4+2m>m…(2)，

f(1)+f(1)>f(2),得到4+2m>2+m…(3)，

由(1)(2)(3)得到m>6為所求。

實數的取值范圍為.