Question

已知直線2x-y+m=0和圓x²+y²=5相交于兩點A、B，
（1）當m為何值時，弦AB最長；
（2）當m為何值時，弦AB的長為2．

Answer 1

分析：（1）當弦為最長時，得到已知直線過圓心，故把圓心坐標代入直線方程即可求出m的值；
（2）根據題意畫出圖形，過圓心O作出弦心距OC，根據垂徑定理得出C為弦AB的中點，從而由弦AB的長求出|AC|的長，再由半徑r的值，利用勾股定理求出|OC|的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，令d等于求出的|OC|列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）當弦AB最長時，直線過圓心，
把圓心坐標（0，0）代入直線方程得：m=0，
則m=0時，弦AB最長；

（2）根據題意畫出圖形，如圖所示：

過O作OC⊥AB，垂足為C，則有|AC|=|BC|=

1

2

|AB|=1，
又圓的半徑r=

5

，
在Rt△AOC中，根據勾股定理得：|OC|=

( 5 )2-12

=2，
則圓心到直線的距離d=

|m|

5

=2，
解得m=±2

5

．
則當m=2

5

或-2

5

時，弦AB的長為2．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有點到直線的距離公式，垂徑定理以及勾股定理，利用了數形結合的思想．當直線與圓相交時，常常利用弦心距，弦長得一半以及圓的半徑構造直角三角形來解決問題．