Question

【題目】已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A=2C．
（1）若△ABC為銳角三角形，求 的取值范圍；
（2）若b=1，c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：A=2C．

由正弦定理可得， ，

∵△ABC為銳角三角形，

∴ ，

進而可知， ，

即 的取值范圍是 ；

（2）解：由（1）可知， ，

∴a=2ccosC=6cosC，

由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=36cos2C+1﹣12cos2C，

∵A=2C，

∴C為銳角，

解得 ，

∴ ，

從而△ABC的面積為 ．

（由sinB=sin3C=3sinC﹣4sin3C結合正弦定理求得 亦可）

【解析】（1）根據A=2C，由正弦定理化簡，將 的比值轉化為三角函數問題，利用三角函數的有界限可得取值范圍．（2）根據b=1，c=3，A=2C．建立方程求出a和sinC，可得△ABC的面積．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解余弦定理的定義的相關知識，掌握余弦定理:;;．