Question

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點．
（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，
BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角系，
設PC=AD=2DC=2CB=2，
則C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（ ），A（2，0，0），B（1，1，0），
=（ ）， =（1，0，﹣1）， =（0，1，﹣1），
設平面PAB的法向量 =（x，y，z），
則 ，取z=1，得 =（1，1，1），
∵ = =0，CE平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
解：（Ⅱ） =（﹣1，1，﹣1），設平面PBC的法向量 =（a，b，c），
則 ，取b=1，得 =（0，1，1），
設直線CE與平面PBC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜ ＞|= = = ．
∴直線CE與平面PBC所成角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角系，利用向量法能證明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和 ，利用向量法能求出直線CE與平面PBC所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．