Question

設橢圓C:=1(a＞b＞0)過點(1,),F₁、F₂分別為橢圓C的左、右兩個焦點,且離心率e=.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知A為橢圓C的左頂點,直線l過右焦點F₂與橢圓C交于M、N兩點.若AM,AN的斜率k₁,k₂滿足k₁+k₂=,求直線l的方程;

(3)已知P是橢圓C上位于第一象限內的點,△PF₁F₂的重心為G,內心為I,求證:GI∥F₁F₂.

Answer 1

解:(1) 得∴橢圓的標準方程為=1.

(2)由(1)得F₂(1,0),A(-2,0).

若直線l與x軸垂直,則k₁+k₂=0,不合題意;

設直線l為y=k(x-1)(k≠0),設直線與橢圓的交點坐標分別為M(x₁,y₁),N(x₂,y₂).

由得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0,

Δ=9k²-9＞0,得k＞1或k＜-1,

x₁+x₂=,x₁·x₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂-2)=k(-2)=,

∵k₁=,k₂=,

∴k₁+k₂=+=

=,

∴x₁y₂+x₂y₁=.

∵x₁y₂+x₂y₁=x₁［k(x₂-1)］+x₂［k(x₁-1)］=,

∴,k=2,符合k＞1.

故所求直線MN的方程為y=2(x-1).

(3)證明:設PI交F₁F₂于Q,則,,

∴.∴=2.∴,IG∥F₁F₂.