Question

如圖，在直三棱柱中，，，是中點.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：（1）直線與平面垂直的證明，對于理科生來說主要是以建立空間直角坐標系為主要方法，所以根據題意建立坐標系后，寫出相應的點的坐標.根據向量證明向量與平面內的兩個相交向量的數量積為零即可.
（2）證明直線與平面所成的角的正弦值，主要是通過求出平面的法向量與該直線的夾角的余弦值，再通過兩角的互余關系轉化為正弦值.
試題解析：（1）證明:因為是直三棱柱，
所以，
又，
即.
如圖所示，建立空間直角坐標系.

,,,，
所以 ，，
.
又因為 ，，
所以 ，，平面.
（2）解：由（1）知，是平面的法向量，
，
則 .
設直線與平面所成的角為， 則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.