Question

【題目】已知A、B、C是拋物線y2=2px（p＞0）上三個不同的點，且AB⊥AC．

（Ⅰ）若A（1，2），B（4，﹣4），求點C的坐標；
（Ⅱ）若拋物線上存在點D，使得線段AD總被直線BC平分，求點A的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵A（1，2）在拋物線y2=2px（p＞0）上，∴p=2，

設C（ ，t），則由AB⊥AC，得kABkAC=﹣1，

∵A（1，2），B（4，﹣4），kABkAC=﹣1，

∴kABkAC= × =﹣1，

解得t=6，即C（9，6）．

（Ⅱ）設A（x0，y0），B（ ），C（ ），

則直線BC的方程為（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），

故直線BC恒過點E（x0+2p，﹣y0），

∴直線AE的方程為y=﹣ （x﹣x0）+y0，

代入拋物線方程y2=2px（p＞0），得點D的坐標為（ ，﹣ ），

∵線段AD總被直線BC平分，

∴ ，解得 ，

∴點A的坐標A（ ）．

【解析】（Ⅰ）由A（1，2）在拋物線上，求出p=2，設C（ ，t），則由kABkAC=﹣1，解得t=6，由此能求出C點坐標．（Ⅱ）設A（x0，y0），B（ ），C（ ），則直線BC的方程為（y1+y2）（y+y0）=2p（x﹣2p﹣x0），從而直線BC恒過點E（x0+2p，﹣y0），直線AE的方程為y=﹣ （x﹣x0）+y0，代入拋物線方程，得D（ ，﹣ ），利用線段AD總被直線BC平分，能求出點A的坐標．