Question

【題目】已知函數，．

求證：函數是上的增函數．

若不等式對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明見解析；.

【解析】

根據，求導得，令，則，因為，得出，所以在上是增函數，所以，則，即可求證結果；

由得，所以在上是增函數，且，，，分步討論的取值，①時，，由，得，令，求出，進而得出；

②當時，有，由，得，則，令，算出，進而得出；③當時，不等式顯然成立，綜合得出實數的取值范圍.

解：，

，

令，則，

因為，所以，

所以，所以，

所以在上是增函數，所以，則，

所以函數是上的增函數．

由得，所以在上是增函數，

且，，，

①時，，由，

得，令，

則，

因為，，所以，

所以．

②當時，有，由，得，

，令，

則，

因為，所以，

則，，

則，所以單調遞減，所以，

所以，．

③當時，不等式顯然成立．

綜上所述，實數的取值范圍是．