Question

【題目】已知函數，，.

（Ⅰ）若直線與曲線相切于點，證明：；

（Ⅱ）若不等式有且僅有兩個整數解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（Ⅰ）求得函數的導數，由導數的幾何意義和直線的圖象過定點，得到，設，利用導數得到函數的單調性，根據零點的存在定理，即可求解.

（Ⅱ）由得，令，利用導數和由（1）知在上單調遞增，求得，通過分類討論的范圍，即可滿足條件的范圍.

（Ⅰ），

由導數的幾何意義可知，，�、�

又直線的圖象過定點，因此，

即，　②

聯立①②消去有.

設，則，所以在上單調遞增．

而，，，

由函數零點存在性定理知.

（Ⅱ）由得，

令，則，

由（Ⅰ）知在上單調遞增，

且時，；在，，

故在上單調遞減，在上單調遞增．

∴.

易證，∴，

當時，；當時，.

（1）若，則，

此時有無窮多個整數解，不合題意；

（2）若，即，因為在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，，

所以無整數解，不合題意；

（3）若，即，此時，故0，1是的兩個整數解，又只有兩個整數解，因此，

解得，所以.