Question

【題目】已知函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期為π
（1）求函數f（x）的單調增區間；
（2）若f（ ﹣ ）= ，f（ ﹣ ）= ，且α、β∈（﹣ ），求cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三角函數公式化簡可得：

f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx= sin（2ωx+ ），

∵f（x）的最小正周期為π，

∴ =π，解得ω=1，

∴f（x）= sin（2x+ ），

解2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，

∴函數f（x）的單調增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z；

（2）解：∵f（ ﹣ ）= ，f（ ﹣ ）= ，

∴ sin（α﹣ + ）= ， sin（β﹣ + ）= ，

∴sinα= ，sinβ= ，又α、β∈（﹣ ），

∴cosα= = ，同理cosβ= ，

∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

= × ﹣ × =

【解析】（1）由三角函數公式化簡可得f（x）= sin（2ωx+ ），由周期可得ω=1，可得函數解析式，解2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得單調增區間；（2）由題意易得sinα= ，sinβ= ，由α、β范圍和同角三角函數基本關系可得cosα和cosβ，代入cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ可得．