Question

【題目】已知在△ABC中，a，b，c為角A，B，C所對的邊，且2cos2 +（cosB﹣ sinB）cosA=1．
（1）求角A的值；
（2）求f（x）=4cosxcos（x﹣A）在x∈[0， ]的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵2cos2 +（cosB﹣ sinB）cosA=1．

1+cosC+cosBcosA﹣ sinBcosA=1，

cosC+cosBcosA= sinBcosA，

﹣cos（A+B）+cosBcosA= sinBcosA，

﹣cosAcosB+sinAsinB+cosBcosA= sinBcosA，

sinAsinB= sinBcosA，

∵sinB≠0，

∴tanA= ，

∴由A∈（0，π），可得：A= ．

（2）解：∵f（x）=4cosxcos（x﹣ ）=4cosx（ cosx+ sinx）

=cos2x+ sin2x+1=2sin（2x+ ）+1，

∵x∈[0， ]，2x+ ∈[ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）=2sin（2x+ ）+1∈[0，3]

【解析】（1）利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sinAsinB= sinBcosA，由于sinB≠0，可求tanA= ，結合范圍A∈（0，π），可得A的值．（2）利用三角函數恒等變換的應用化簡可得f（x）=2sin（2x+ ）+1，由x∈[0， ]，可求2x+ ∈[ ， ]，
利用正弦函數的圖象和性質即可解得其值域
【考點精析】利用余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知余弦定理:;;．