Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不經過橢圓上的點，求證：直線的斜率互為相反數．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，由長軸長得出的值，再由離心率得出的值，再計算出的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，由于直線與橢圓相交，所以列出方程組，經過消參，得到關于的方程，因為直線與橢圓有2個交點，所以方程有2個實根，所以方程的判別式大于0，解出的取值范圍；第三問，將結論轉化為證明，寫出點坐標，利用第二問的關于的方程，用韋達定理寫出兩根之和、兩根之積，先用兩點的斜率公式列出的斜率，再通分，將上述兩根之和兩根之積代入化簡直到等于0為止.
試題解析：（Ⅰ）由題意知,，又因為，解得
故橢圓方程為．                        4分
（Ⅱ）將代入并整理得，
，解得.      7分
（Ⅲ）設直線的斜率分別為和，只要證明.
設，
則，.    9分

分子


所以直線的斜率互為相反數.     14分
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關系；3.斜率公式；4.韋達定理.