Question

定義在R上的函數y=f（x），f（0）≠0當x＞0，f（x）＞1且對于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）證明：f（0）=1．（2）證明：對于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．

Answer 1

證明：（1）因為f（a+b）=f（a）f（b），
令式中a=b=0得：f（0）=f（0）f（0），因f（0）≠0，
所以等式兩同時消去f（0），得：f（0）=1．
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=，于是f（x）=f（0.5x）f（0.5x）=（f（0.5x））²≥0．
因為f（0）≠0，所以對于任意的x∈R，恒有f（x）＞0．
分析：（1）令f（a+b）=f（a）f（b）式中a=b=0，根據f（0）≠0，可求出f（0）的值；
（2）令f（a+b）=f（a）f（b）中a=b=，可證得f（x）≥0，因為f（0）≠0，從而證得結論．
點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，同時考查了特殊值法的應用，解題的關鍵是如何取值，屬于中檔題．