Question

11、定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，則f（2009）的值是（　　）

A、-1

B、0

C、1

D、2

Answer 1

分析：因?yàn)閒（-x）=-f（x），所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．由此可得f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），利用仿寫的方法可得f（x）=f（x-4），即函數(shù)f（x）是周期函數(shù)并且周期為4．
進(jìn)而得到f（2009）=f（4×502+1）=f（1），再結(jié)合題意可得答案．

解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）滿足f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
又因?yàn)閒（1+x）=f（1-x），
所以f（1+x）=-f（x-1），即f（x）=-f（x-2），
所以f（x-2）=-f（x-4），
所以f（x）=f（x-4），即函數(shù)f（x）是周期函數(shù)并且周期為4．
所以f（2009）=f（4×502+1）=f（1）．
因?yàn)楫?dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x³，
所以f（1）=1，即f（2009）=1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的周期性，由f（1+x）=-f（x-1）或者f（1+x）=f（x-1）結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的周期．