Question

【題目】函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（1）當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí), 在上是增函數(shù)；（iii）當(dāng)時(shí)， 在是上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）詳見試題分析．

【解析】試題分析：（1）首先求函數(shù)的定義域， 的導(dǎo)數(shù)： ，再分， ， 三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．同理當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性得．下面再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）的定義域?yàn)?/span>．

（1）當(dāng)時(shí)，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí), 成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)．

（iii）當(dāng)時(shí)，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)．

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)， 在是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，即．又由（1）知，當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（1）當(dāng)時(shí)，由已知，故結(jié)論成立；

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即．當(dāng)時(shí)， ，即當(dāng)時(shí)有，結(jié)論成立．根據(jù)（1）、（2）知對(duì)任何結(jié)論都成立．